mathfluss ([info]mathfluss) wrote,
@ 2007-02-14 10:50:00
Previous Entry  Add to memories!  Tell a Friend  Next Entry
Entry tags:уравнения

сансоне
Диффуры загадочная наука, раньше казалось, все так легко, а на деле выходит, все так не понятно...

Пытаюсь придумать пример монотонно возрастающей функции  a(x), стремящейся к бесконечности,  такой чтобы уравнение y''+a(x)y=0 имело решение не стремящееся к нулю. 
Самое печальное, что я даже не понимаю, что будет если a(x)=x.

Похоже придется таки почитать Сансоне.


(9 comments) - (Post a new comment)


[info]trushkov
2007-02-18 09:51 am UTC (link)
Таких дифференцируемых функций a(x) нет, о чем говорит теорема Хартмана-Проди.

(Reply to this) (Thread)

[info]mathfluss
2007-02-19 07:12 pm UTC (link)
Сомнительно... В Сансоне (т2), apriori в условиях фигурирует непрерывность производной, и дополнительные условия на нескачкообразность роста функции.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]trushkov
2007-02-20 05:08 am UTC (link)
Смотрите не Сансоне, а
Трушков. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Переславль-Залесский. Изд-во УГП, 2006. :)

Пункт "Устойчивость относительно части переменных" (стр. 164)
Собственно теорема Хартмана-Проди - стр. 166.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mathfluss
2007-02-23 06:03 pm UTC (link)
но там ведь утверждается только лишь существование стремящегося к нулю решения, а вовсе не доказательство стремления к нулю всех решений.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]trushkov
2007-02-23 07:53 pm UTC (link)
Да... Не так понял. :-(

Контрпример, говорят, существует...

В книге после теоремы Хартмана-Проди есть достаточное условие стремления всех решений к нулю.

P.S. Для a(x)=x просто исследовать напрямую. Там функции Бесселя...

P.P.S. А в каком вузе (кроме МИЭМа) о таких интересных вещах рассказывают?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mathreader
2007-08-03 10:53 pm UTC (link)
Не могли бы Вы пояснить: в Вашей книге указывается в следствии 9.2.б), что если в уравнении

y''+a(x)y=0

a(x) --> бесконечности при x-->бесконечности, то уравнение является неустойчивым.

Между тем, решение уравнения для a(x)=x представляет собой функцию:

y(x) = c1 Ai(-x) + c2 Bi(-x),

где Ai(x) и Bi(x) -- функции Эйри

Очевидно, что y(x) равномерно стремится к нулю по мере того как x стремится к бесконечности. Не означает ли это, что уравнение устойчиво?

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mathfluss
2007-08-04 06:58 am UTC (link)
когда мы говорим про устойчивость нулевого решения линейного уравнения второго порядка, надо чтобы все другие решения оставались ограниченными вместе со своими первыми производными.
Можно показать, что у функции Ai(-x) ( Bi(-x) ) производная их стремится к бесконечности по последовательности тех корней Ai(-x) ( Bi(-x)) в которых знак функции меняется с - на +.

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mathreader
2007-08-04 09:08 am UTC (link)
Спасибо. А как такое понимание устойчивости называется? (Это же ведь не по Ляпунову, верно?)

(Reply to this) (Parent)(Thread)

[info]mathfluss
2007-08-04 09:55 am UTC (link)
Как раз таки по Ляпунову... Только ж обычно оно формулируется для систем. Поэтому надо уравнение переписать как систему, функция, ее производная,- и условие устойчивости, что этот вектор будет от вектора исследуемого решения не сильно отклоняться.
А вот если бы мы следили только за одной компонентой вектора, за решением, и она не сильно отклоняется, то это устойчивость по Рауссу.

(Reply to this) (Parent)

(9 comments) - (Post a new comment)

Create an Account
Forgot your login or password?
Login w/ OpenID
English • Español • Deutsch • Русский…