mathfluss (![[info]](http://l-stat.livejournal.com/img/userinfo.gif){kind=small} mathfluss) wrote,@ 2007-01-22 21:18:00 |
|
| Entry tags: | уравнения |
theorem by Nehari
От прошедшего семестра диффуров, остались вопросы, с которым стоило бы разобраться.
Любое нетривиальное решение уравнения y¨+p(x)y=0 на интервале (a,b) имеет не более одного нуля если (b-a)Sab|p(x)| dx<= 4.
Доказательство этого факта не сложное. Действительно если функция u(x) такова, что u(a)=u(b)=0, то имеет место неравенство (b-a)Sab u¨/u dx> 4. Это оттого что, интеграл Sab |u¨/u| dx > |u´(x2)-u´(x1)|/ u max для любых x1, x2. Выбрав по теореме Лагранжа за x1, x2 точки из интервалов (a , xmax ), (xmax , b ) так что u´( x2 ) = u max / ( xmax - b ) и u´( x1 ) = u max / ( a - xmax ) получим доказываемое неравенство.
Первый возникающий вопрос, а точна ли в теореме 4? Нельзя ли ее заменить на число побольше?
Другой вопрос про обобщение этой теоремы на случай уравнения n-го порядка.
Как доказать, что Любое нетривиальное решение уравнения y(n)+p(x)y=0 на интервале (a,b) имеет не более n-1 нуля если (b-a)n-1 Sab|p(x)| dx<= 2n.
На самом деле имеет место более общее (Nehari)
Любое нетривиальное решение уравнения y(n)+Si=0n-1pi(x)y(i)=0 на интервале (a,b) имеет не более n-1 нуля если
Si=1n(b-a)n-i2iSab|pi-1 (x)| dx < = 2 n+1.
